Mengkaji Jurnal Internasional (Pendidikan Matematika)

Dewasa ini jurnal internasional banyak dijadikan sebagai referensi dan rujukan dalam penelitian-penelitian pendidikan yang dilakukan di Indonesia. Dengan tuntutan perkembangan teknologi dan informasi yang pesat, sangat dibutuhkan teori-teori baru dalam mendukung sebuah penelitian agar hasil yang didapatkan pada penelitian tersebut lebih akurat dan up to date.
Bahkan sekarang kita dengan mudah mengakses jurnal internasional tersebut melalui jaringan internet. Telah tersedia beberapa situs-situs yang menyediakan jurnal internasional pendidikan matematika secara GRATISSS... Kita tinggal men-downloadnya secara gratis dan mengkaji isinya untuk mencari teori atau referensi yang kita butuhkan.
Kali ini saya akan membagikan kajian jurnal internasional yang telah saya buat, dengan judul artikel jurnal internasional "Mathematical Knowledge of Non-mathematics Students and Their Beliefs about Mathematics".

 Isi kajiannya berupa masalah dalam latar belakang penelitian, tujuan penelitian, teori-teori yang digunakan dalam penelitian, hasil serta pembahasan yang diperoleh dalam penelitian.

Untuk mengunduh jurnal internasionalnya silahkan klik disini.

Untuk melihat kajian jurnalnya yang saya buat silahkan lihat disini.

Read More

Permutasi dan Kombinasi Secara Umum serta Penggunaan dalam Peluang

Pembahasan permutasi dan kombinasi secara umum serta contoh penggunaannya dalam peluang suatu kejadian.

A.  Kaidah Pencacahan

            Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyakya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan dengan: aturan penjumlahan, aturan perkalian.

1.    Aturan Penjumlahan

Jika ada sebanyak a benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak b benda pada himpuan kedua, dan kedua himpuan itu tidak beririsan, maka jumlah total anggota di kedua himpuan adalah a + b.

Contoh : 1

Jika seseorang akan membeli sebuah sepeda motor di sebuah dealer. Di dealer itu tersedia 5 jeis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki. Dengan demikian orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.

Contoh : 2

Ibu Alya seorang guru SMK. Ia mengajar kelas XII Akuntansi yang jumlahnya 40 siswa, kelas XII penjualan yang jumlahnya 42 siswa, kelas XII bisnis, yang kumlahnya 45 siswa, maka jumlah siswa yang diajar Ibu Alya adalah 40 + 42 + 45 = 127 siswa.

2.    Aturan Perkalian

Pada aturan perkalian ini dapat diperinci menjadi dua, namun keduanya saling melengkapi dan memperjelas. Kedua kaidah itu adalah menyebutkab kejadian satu persatu dan aturan pemngisian tempat yang tersedia.

a.      Menyebutkan kejadian satu persatu

            Contoh : 1

            Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa hasil yang berlainan dapat terjadi ?

Penyelesaian :

Gambar 2.1 diagram pohon

Dengan diagram pohon diperoleh:

Hasil yang mungkin : G1, G2, G3, G5, G6, A1, A2, A3, A4, A5, A6

Catatan : G1 artinya uang menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 1. Dengan demikian banyaknya cara hasil yang berkaitan dapat terjadi adalah 12 cara.

b.      Aturan pengisian tempat yang tersedia

Menentukan banyaknya cara suatu percobaan selalu dapat diselesaikan dengan meyebutkan kejadian satu persatu. Akan tetapi, akan mengalami kesulitan kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau dengan mengalikan.

Contoh 1:

Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana. Berapa cara Alya dapat memakai baju dan celana?

Peyelesaian :

Misalkan kelima baju itu B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ dan ketiga celana itu C₁, C₂, C₃. Hasil yang mungkin terjadi adalah….

	B1          B2               B3             B4                B5
C1 C2 C3	C1B1       C1B2           C1B3         C1B4           C1B5  C2B1       C2B2           C2B3         C2B4           C2B5 C3B1       C3B2           C3B3         C3B4           C3B5

Jadi banyaknya cara Alya dapat memakai baju da celana = 15 cara

Langkah diatas dapat diselesaikan dengan:

5 cara

3 cara

Baju         Celana

                                               

Jadi, ada 5 ´ 3 cara = 15 cara

Bila tempat pertama dapat diisi n₁ cara, tempat kedua dengan n₂ cara,…, tempat k dapat diisi n_k cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n₁ ´ n₂ ´…´ n_k cara.

B.  Permutasi dan Kombinasi

1. Permutasi

Permutasi adalah susunan objek-objek dengan memperlihatkan urutan tertentu.

a. Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil seluruhnya (_nP_n)

nPn = n! atau  = n!

           

Contoh:

Diketahui 3 abjad pertama yaitu A, B dan C. Berapa banyak susunan yang mungkin dari 3 huruf yang berbeda itu ?

Jawab:

₃P₃ = 3! = 3.2.1 = 6 cara

Contoh:

Diketahui 4 siswa : Ary, Ani, Ali dan Asih akan ditempatkan pada 4 buah kursi. Ada berapa cara untuk menempatkan siswa itu pada kursi yang berbeda ?

Jawab:

I           II         III        IV

4

3

2

1

Kursi I dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 4 cara.

Kursi II dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 3 cara.

Kursi III dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 2 cara.

Kursi IV dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 1 cara.

Sehingga dengan prinsip dasar probabilitas, keempat kursi dapat ditempati oleh keempat siswa dengan :  4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.

Atau:

_nP_n = ₄P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.

b. Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil sebagian (_nP_r)

Banyak permutasi n objek yang diambil r objek (0 < r < n) dinotasikan _nP_r atau  P_{(n, r)}  atau  (dibaca Permutasi r dari n) adalah :

nPr  = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) atau nPr =

Contoh:

Berapa banyak permutasi yang terdiri atas 2 huruf yang berbeda dari 4 huruf : A, I, U, E.

Jawab:

₄P₂ =  = 4.3 = 12 cara

Ke-12 permutasi itu adalah :

c. Permutasi n objek yang tidak semua berbeda

            Banyaknya cara menyusun unsur dalam suatu baris, jika ada p unsur yang sama dari satu jenis, q unsur dari jenis lain, dan seterusnya adalah :

P =

Contoh:

Berapa carakah 5 huruf dari kata CUACA dapat disusun dalam suatu baris !

Jawab:

Unsur-unsur yang sama : huruf C ada 2, huruf A ada 2.

P =  = 30

Jadi susunan yang mungkin ada 30 buah.

d. Permutasi Siklis

Banyaknya cara menyusun n objek berlainan dalam suatu lingkaran, dengan memandang susunan yang searah putaran jarum jam dan berlawanan arah putaran jarum jam adalah :

Ps(n) =

Contoh:

Terdapat berapa carakah empat anak A, B, C, D yang duduk melingkar dapat disusun dalam lingkaran ?

Jawab:

Ambil seorang anak untuk diletakkan pada posisi yang tetap, kemudian menyusun tiga anak yang lain dalam tempat yang berbeda, maka cara ini dapat dilakukan dalam 3! = 3.2.1 = 6 cara.

2. Kombinasi

            Kombinasi adalah susunan dari unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan unsur-unsur itu. Kombinasi dari n objek yang diambil r objek dinotasikan _nC_r atau C_{(n, r)} atau  atau  adalah :

nCr =

            Melalui contoh berikut ini, dapat dibedakan antara permutasi dan kombinasi.

Pengambilan 3 huruf dari 4 huruf yang ada (A, B, C, D).

Kombinasi (₄C₃) :        ABC, ABD, ACD, BCD       

Permutasi   (₄P₃) :        ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

                                    ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA

                                    ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA

                                    BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB

Jadi, ₄C₃ . 3! = ₄P₃ atau ₄C₃ =

Sehingga kita peroleh: _nC_r =  =

Contoh:

Ada berapa cara dapat dilakukan jika 5 pemain bola basket diambil dari tim yang terdiri 12 pemain untuk berpartisipasi dalam pertandingan persahabatan ?

Jawab:

₁₂C₅ =  = 792

Jadi, banyaknya cara memilih 5 pemain dari 12 pemain ada 792 cara.

Contoh:

Ada berapa cara 2 bola merah, 3 bola biru, dan 4 bola putih dapat dipilih dari suatu kotak yang berisi 4 bola merah, 6 bola biru, dan 5 bola putih ?

Jawab:

2 bola merah dapat dipilih dari 4 bola dalam ₄C₂ cara.

3 bola biru dapat dipilih dari 6 bola dalam ₆C₃ cara.

4 bola putih dapat dipilih dari 5 bola dalam ₅C₄ cara.

Dengan prinsip perkalian, banyaknya cara memilih bola yang diminta :

₄C₂ x ₆C₃ x ₅C₄            =

                                    =

                                    = 6 x 20 x 5

                                    = 600 cara.

C. Percobaan dan Peluang Suatu Kejadian

            Setiap proses yang menghasilkan suatu kejadian disebut percobaan. Misalnya kita melemparkan sebuah dadu sebanyak satu kali, maka hasil yang keluar adalah angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel, biasanya dinyatakan dengan S, dan setiap hasil dalam ruang sampel disebut titik sampel. Banyaknya anggota dalam S dinyatakan dengan n(S).

            Misalnya, dari percobaan pelemparan sebuah dadu, maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6. Jika dalam pelemparan dadu tersebut muncul angka {2}, maka bilangan itu disebut kejadian. Jadi, kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

            Jika ruang sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu kejadian munculnya percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan :

P(A) =

                        P(A) = Peluang muncul A

                        n(A) = banyaknya kejadian A

                        n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian S

Contoh:

Sebuah mata uang logam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya “Angka”?

 Jawab:

Ruang sampel S = {A, G} maka n(S) = 2.

Kejadian A = {A}, maka n(A) = 1

Jadi, P(A) =  =

Contoh:

Sebuah dadu mata enam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil ?

Jawab:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ® n(S) = 6

A = {1, 3, 5} ® n(A) = 3

Jadi, P(A) =  =  =

Contoh:

Dalam setumpuk kartu bridge (remi) diambil satu kartu secara random (acak). Tentukan peluang yang terambil adalah kartu As !

Jawab:

Banyaknya kartu bridge adalah 52, berarti n(S) = 52

n(As) = 4

Jadi, P(As) =  =  =

PEMBAHASAN

Permutasi r dari n elemen

Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola kedalam kotak-kotak tersebut?

Penyelesaian:

Kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan);

Kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan);

Kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan).

Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6) (5) (4) = 120

Perampatan:

Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r ≤ n), maka

Kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola → (ada n pilihan);

Kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari(n–1) bola → (ada n–1 pilihan);

Kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n–2) bola → (ada n–2) pilihan;

…

Kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n–(r–1)) bola → (ada n–r+1 pilihan)

Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah :n(n–1)(n–2)…(n–r+1))

Dengan demikian, permutasi r dari n elemen P(n,r) adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.

Kombinasi r dari n elemen

Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

Contoh: Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.

Jumlah cara memasukkan bola kedalam kotak adalah =

Bila sekarang jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah =

karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.

Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah:

Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n,r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.

Contoh penggunaan konsep Permutasi dan Kombinasi:

Kursi-kursi di sebuah bioskop disusun dalam baris-baris, satu baris berisi 10 buah kursi. Berapa banyak cara mendudukkan 6 orang penonton pada satu baris kursi:

(a) jika bioskop dalam keadaan terang

(b) jika bioskop dalam keadaan gelap

Jawab:

(a)    Pada keadaan terang, kita menggunakan konsep permutasi. Hal ini karena pada keadaan terang kita dapat melihat posisi dari orang yang duduk di kursi atau dengan kata lain kita dapat memperhatikan urutan dari 6 orang yang duduk di kursi, yaitu:

(b)   Pada keadaan gelap, kita tidak dapat melihat orang-orang yang duduk dikursi sehingga kita tidak dapat memperhatikan urutannya atau dengan kata lain kita menggunakan konsep kombinasi untuk menentukan banyaknya cara mendudukkan 6 orang pada jumlah kursi yang tersedia.

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

Misalkan: ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable).

n₁ bola diantaranya berwarna 1,

n₂ bola diantaranya berwarna 2,

…

n_k bola diantaranya berwarna k, dan n₁ + n₂ + … + n_k = n.

Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. 1 buah bola)?

Cara 1:

Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah: P(n, n) = n!.

Dari pengaturan n buah bola itu:

ada n₁! cara memasukkan bola berwarna 1

ada n₂! cara memasukkan bola berwarna 2

…

ada n_k! cara memasukkan bola berwarna k

Permutasi n buah bola yang mana n₁ diantaranya berwarna 1, n₂ bola berwarna 2, …, n_k bola berwarna k adalah:

Cara 2:

Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak yaitu:

Mula-mula kita menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak. Ada C(n,n₁) cara untuk menempatkan n₁ buah bola berwarna 1. Stelah bola berwarna 1 dimasukkan, sekarang terdpt n – n₁ kotak yg blm diisi.

Kita masukkan bola-bola yang berwarna 2. Ada C(n – n₁, n₂) cara untuk menempatkan n₂ buah bola berwarna  2. Stelah bola berwarna 2 dimasukkan, sekarang terdpt n – n₁ – n₂ kotak yg blm diisi.

Kita masukkan bola-bola yang berwarna 3. Ada C(n – n₁ – n₂, n₃) cara untuk menempatkan n3 buah bola berwarna  3. Demikian seterusnya, sehingga akhirnya terdapat C ( n–n₁–n₂ - ... – n_k-1, n_k) cara untuk menempatkan nk buah bola berwarna k.

Atau dapat dituliskan sebagai berikut:

Dapat disimpulkan bahwa banyaknya cara untuk menentukan penyusunan n objek dengan terdapat n₁ objek pertama yang sama, n₂ objek kedua yang sama, n₃ objek ketiga yang sama, …, n_k banyaknya objek ke-k yang sama, kita dapat menggunakan rumus permutasi ataupun kombinasi sebegai berikut.

Penggunaan konsep Permutasi dan Kombinasi dalam menentukan peluang suatu kejadian.

Contoh permutasi:

Diketahui tiga abjad pertama, yaitu a, b, dan c. Hitung peluang bahwa dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, jika kita membentuk permutasi abjad itu!

Penyelesaian:

Misalnya B adalah peristiwa bahwa dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, jika kita membentuk permutasi dari tiga abjad itu. Karena dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, banyaknya abjad yang akan diatur ada 2 buah. Jadi, permutasi yang mungkin adalah P(2,2) = 2!. Banyaknya permutasi yang dibentuk dari dua abjad yang berdampingan = 2!.

Dengan demikian,

n(B)     = banyak susunan dua abjad tertentu yang selalu terletak bedampingan.

            = 2! x 2! = 4

n(S)     = bany ak susunan keseluruhan berdasarkan permutasi yang bisa dibentuk.

            = 3! = 6

Jadi, P(B) =

Contoh kombinasi:

Andi mempunyai sebuah kotak yang berisi 10 buah kelereng yang terdiri dari 4 kelereng putih dan 6 kelereng biru. Kemudian ia mengambil 5 buah kelereng sekaligus. Berapa peluang bahwa dari lima kelereng yang terambil itu, tiga buah diantaranya berwarna putih?

Penyelesaian:

Misalnya A = peristiwa bahwa lima buah kelereng yang terambil itu, tiga diantaranya adalah kelereng putih.

Banyaknya kelereng putih yang terambil: C(4,3) = .

Banyaknya susunan kelereng biru yang terambil: C(6,2) =

Jadi,     n(A)     = 4 x 15 = 60

            n(S)     = banyak susunan lima kelereng yang terambil secara keseluruhan

                        = C(10,5)

Jadi,     P(A)    =

Kesimpulan

1.      Permutasi r dari n elemen P(n,r) adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.

 

2.      Kombinasi  adalah bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

3.      Kombinasi r elemen dari n elemen, atau  C(n, r),  adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.

4.      Kita dapat menggunakan rumus permutasi ataupun kombinasi untuk menentukan banyaknya cara penyusunan n objek dengan terdapat n₁ objek pertama yang sama, n₂ objek kedua yang sama, n₃ objek ketiga yang sama, …, n_k banyaknya objek ke-k yang sama.

Untuk mengunduh file secara utuh dalam bentuk micr.word silahkan klik disini

Read More